sábado, 2 de febrero de 2013

Curvas de Jordan


Teorema de la curva de Jordan:

"Toda curva cerrada simple del plano divide al plano en dos componentes conexas disjuntas que tienen a la curva como frontera común. Una de estas componentes está acotada (el interior de la curva) y la otra es no acotada y se le llama exterior".

Camille Jordan (demostrado por Oswald Veblen)


¿Cómo saber si un punto de una curva de Jordan está dentro o fuera de la curva?

Supongamos que tenemos un punto A. No tenemos más que elegir otro punto B que sepamos a ciencia cierta que está en el exterior de la curva y si trazar una recta que los una. 

  • Si el número de puntos de corte entre la recta y la curva es PAR, es que el punto está en el exterior de la curva
  • Si el número de puntos de corte entre la recta y la curva es IMPAR, es que el punto está en el interior de la curva
  



Descubri este teorema hace poco leyendo un libro de divertimentos y acertijos matemáticos. La razón de que atrajera mi atención es que resulta que sin saberlo he estado dibujando toda mi vida "curvas de Jordan". Pensaba que eran garabatos distraidos que hacía en una hoja de papel cada vez que me aburría o hablaba por teléfono y resulta que tienen nombre y ¡¡hasta un teorema!!

Muchas veces me encuentro haciendo ese tipo de curvas en una hoja de cuaderno, libreta o lo que tenga a mano en ese momento, sin más propósito que conseguir rellenar la máxima superficie blanca sin levantar el lapicero y volviendo a encontrarme con el trazo inicial para cerrar todo el recorrido. ¿Quién dijo neuras?

Mi sorpresa viene de la curiosidad que siempre he tenido por saber si el hecho de hacer esos dibujos en particular tenía algún significado. De vez en cuando llegan a mis manos tests de esos que circulan por la red, que lo mismo tratan de adivinar tu personalidad por las letras de tu nombre, tu árbol favorito, el color de tus uñas  o en este caso, dependiendo de los que dibujes mientras estás entretenido hablando por teléfono. Ninguno hasta el momento ha probado tener mucha base científica pero siempre resulta entretenido, como los horóscopos, que no tienen ninguna fiabilidad, pero todos les hemos echado alguna mirada en algún momento ocioso.

No he encontrado la respuesta a estos dibujos inconscientes en forma de curva cerrada. Tendré que seguir buscando mientras me guardo mi propia interpretación.

De momento seguiré ahondando en este teorema que a pesar de su simplicidad resulta que es muy útil en el ámbito de la Topología. Ambito por cierto, que descubrí hace unos años cuando intentaba ampliar mis conocimiento sobre las teorías del caos y que a su vez me llevaron a descubrir la existencia de los maravillosos fractales que merecen un post aparte, así que sin duda, todo en la vida termina relacionado.










































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